Для тех, кто в будущем будет эту ошибку искать по форуму. У нас такая ошибка только что случилась, стояла какая-то старая версия, возможно, даже вообще без контейнеров, решил для ЕИАС поставить новую версию CryptoPro, после установки увидел под пользователем "Ошибка обращения к указанному CSP". Выяснилось, что CryptoPro заводит в реестре в разделе HKLM\SOFTWARE\Crypto Pro\Settings\USERS подразделы для каждого пользователя (был даже раздел для S-1-5-20, Network Service), и только ему даёт права (что логично, поскольку, как я понимаю, туда кладутся ключи в контейнер "Реестр"), и если сносить не от имени пользователя, то его раздел остаётся и после деинсталляции, и после cspclean.exe. Дал пользователю администраторские права, под ним снёс CryptoPro и очистил реестр (для сноса раздела S-1-5-20 использовал задание, запускающее reg-файл), после чего заново поставил CryptoPro, забрал администраторские права, и всё заработало.