Проверил для ЛК по 44-ФЗ. При авторизации используется двусторонний TLS, а согласно релизу поддерживается пока только односторонний.

С другими браузерами совсем никак. Особенность Android в том что приложения изолированы и нельзя просто подгрузить одно в другое. Поэтому другие браузеры с поддержкой ГОСТ могут появиться только если их разработчики пожелают добавить туда библиотеку с нашим CSP прямо внутрь приложения.

По двустороннему TLS - насколько я вижу из ответов Андрея Русева - планируется. Рекомендую следить за основной темой.

Ой, да я тоже с этим сайтом помучался! Сначала убедись, что сертификат вообще видит система — зайди в КриптоПро CSP, там во вкладке 'Сертификаты' должен отображаться твой ключ. Если его нет, значит проблема с импортом pfx-файла — попробуй перезалить его заново.
А теперь самое важное — в настройках КриптоПро Fox обязательно включи SSL-фильтрацию для всех сайтов и отметь галочкой 'Использовать сертификаты КриптоПро'. Без этого ничего работать не будет! Ещё момент — если сертификат старый, возможно, у него кончился срок действия или нет корневого сертификата удостоверяющего центра.
Попробуй зайти через Chrome — он как-то стабильнее работает с этой штукой. И да, после ввода логина-пароля на сайте уже потом подключай контейнер с сертификатом, а не сразу. У меня лично только так получалось. Если всё равно ошибка — пиши в техподдержку закупок, хотя они редко помогают... Может, у тебя какая-то особенная ситуация?