Запустил новую вкладку в режиме инкогнито и всё заработало.
Видимо кэш браузера приводит к неадекватному поведению.
Если нужна какая-то информация могу скинуть.
Последний вопрос, выполняете ли вы сброс паролей для УЗ тестового УЦ, в случае если не успел перевыпустить сертификат или выпустил сертификат, который не позволяет авторизоваться?

Я понял что сертификаты vclib.crytpo@vitacore.ru не могут быть использованы для входа на сайт из-за key usage ну и квалифицированности/не квалифицированности.
У меня есть сертификаты vclib.crypto.lib@vitacore.ru.
Они подходят для входа. И как я говорил выше, в обычном режиме окно выбора сертификатов не появляется, а в режиме инкогнито появляется. Я хотел обратить ваше внимание именно на эту проблему.

Чистка кэша браузера никак не помогла в этом вопросе. Я буду использовать режим инкогнито, мне итак сойдёт.

Оффтоп.
Еще я хотел спросить, а зачем сделано такое разделение неквалы могут быть использованы для доступа, а квалы для подписи. Это получается что для доступа и подписи на одном сайте нужно сразу два сертификата? Можете тыкнуть в закон который определяет такое поведение, не понимаю откуда ноги растут.

Заранее спасибо! Думаю больше вопросов у меня не будет.

А если Ctrl+F5, тоже не чистит кэш?